¿Por qué menos por menos da más?, es una pregunta que hasta cierto punto puede sonar pendeja, pero ojo, yo no estoy preguntando si sabías que menos por menos es positivo (eso lo asumiste en tu educación), te estoy preguntando el porqué da positivo, ¿qué es lo que se escuece tras bambalinas?, ¿cuál es el razonamiento para poder concluir esto?
Estaba ayudando a un amigo a crear un programa que evaluara los posibles resultados acorde al número de signos positivos y/o negativos en una sucesión numérica, al final del día había que usar la función de un valor absoluto (nada fuera de lo normal), de hecho, en una computadora si no te pasas de la capacidad de una variable entera (integer overflow), el lenguaje de programación en el que estés podrá operar sin problema los signos por ti, en caso de que lo hagas te arriesgas a ver resultados negativos (por temas de mantisa, binarios y complementos) y cagar todos los cálculos.
Para no hacer larga la historia, en la conversación este chico me preguntó el porqué un número negativo por otro negativo tenía que dar más, esto me hizo chiquito el corazón porque este hombre es de universidad, y aunque no soy quien para decir lo que debe saber una persona, lo cierto es que llegar a estas alturas sin esa base me parece una ofensa.
No lo culparé, parte importante de este problema es que en el sistema de educación nunca indaga en las cosas que parecen obvias, ¿pero obvias hasta qué punto? Dijo alguna vez mi gran maestro al que tanto le debo, G. Orwell: «La reformulación de lo obvio es la primera obligación del hombre inteligente». En función de esta verdad absoluta, es que pasaré a explicar un poco de más verdades absolutas e incuestionables.
Tomando esto como sentado, pasaré a explicar de la forma más sencilla y rápida lo que pasa tras lo que nos han pintado como «obvio», let’s go:
Ciertos enunciados de las famosas «leyes de los signos» son fáciles de entender cuando hacemos una analogía con nuestro lenguaje mundano, recordar que al final del día las matemáticas son un lenguaje un tanto más abstracto ─pero no por ello dejan de ser un lenguaje─:
«Más por más es más»
(+)(+) = +
Esta es fácil, si tres personas me deben cien pesos, es obvio que al final del día deberé tener trescientos pesos, ¿no?
(3)(100) = 300
Vayamos a la otra:
«Menos por más da menos».
(+)(-) = –
Si yo le debo a tres personas una cantidad de cien pesos, es obvio que la deuda total es de menos trescientos pesos:
(3)(-100) = -300
Nótese que debido a las leyes conmutativas (el orden de los factores no altera el producto) podemos intuir qué pasará con «más por menos»… obvio dará menos.
El problema nace cuando analizamos «menos por menos», si usamos el ejemplo de las personas y las deudas el concepto de los números empieza a flaquear, ¿tres personas negativas?, ¿una deuda de cien?, con esfuerzo podríamos llegar a esto, gritando: «SI NO LE DEBO A 3 PERSONAS (-3) UNA CANTIDAD DE 100 (-100), ES OBVIO QUE AL FINAL DEL DÍA TODAVÍA TENGO ESOS 300 PESOS».
(-3)(-100) = 300
Muy bonito… pero, ¿qué nos dicen las matemáticas sobre esto?, ¿podemos formalizarlo?, vamos a darle:
En matemáticas tenemos unas cosillas llamadas «elementos inversos aditivos», suena fancy, pero no es otra cosa que aquellos números que al sumar a otros números nos devuelven el «elemento neutro» de la suma del grupo, esto último también sonó fancy, deja te lo pongo en palabras mortales: «Existen una serie de números que al sumarlos a otros números, nos deben dar cero como resultado (elemento neutro de la suma)».
Con esta definición ya se pone fácil la cosa, ¿cuál es el inverso aditivo de 4?, pues -4:
4+(-4) = 0
Así podemos seguir con todos los números, solo es buscar el número negativo, lo sumamos y obtenemos el cero.
Tomando esta base analicemos el inverso aditivo de la unidad de nuestro sistema (el 1).
1
Sumemos el inverso:
1 + (-1) = 0
Aquí viene un truco, nosotros queremos demostrar que (-1)(-1) = 1, para ello multipliquemos -1 a ambos lados de la ecuación:
(-1)[1+(-1)] = 0(-1)
Dado que multiplicamos a ambos lados no estamos alterando la ecuación, nosotros sabemos que cualquier número multiplicado por cero es cero, simplificamos:
(-1)[1+1(-1)] = 0
Ahora sólo es cuestión de aplicar la ley distributiva al lado izquierdo (Recordar: a(b+c) = ab+ac).
(-1)(1) + (-1)(-1) = 0
Sabemos que cualquier cosa multiplicada por 1 nos devuelve esa cualquier cosa, ¿cierto?, pues simplifiquemos el primer término del lado izquierdo de la ecuación (-1)(1) = (-1)
(-1) + (-1)(-1) = 0
Nuestra ecuación ya se parece a lo que necesitamos (necesitamos eliminar el -1), como último truco sólo vamos a sumar 1 a ambos lados de la ecuación para no alterar el balance hermoso que posee:
1 + (-1) + (-1)(-1) = 0 +1
Simplificamos y listo calixto:
1-1 + (-1)(-1) = 1
0 + (-1)(-1) = 1
(-1)(-1) = 1
Ya vimos que funciona para la unidad, solo necesitamos generalizar, para ello sabemos una propiedad muy interesante de cómo representar los números reales.
Sabemos que para todo real menor que cero se cumple que el mismo se puede expresar como el número real multiplicado por la unidad negativa, ¿cierto?, dicho en el hermoso lenguaje de las matemáticas:
∀p < 0 ∈ R:
-p = (-1)p
Es como si estuviésemos factorizando, ahora solo debemos tomar dos números cualesquiera (negativos) y multiplicar, digamos que estos números son -p y -q, y que son reales (o sea: -p, -q ∈ R):
(-p)(-q) = (-1)p(-1)q
Nótese que ya en la ecuación hemos puesto del otro lado la representación alternativa, de nuevo usemos la propiedad conmutativa para acomodar las cosas:
(-p)(-q) = (-1)(-1)pq
¡Hey!, allí tenemos el (-1)(-1), nosotros ya habíamos demostrado que (-1)(-1) = 1, ergo, estamos en todo nuestro derecho de sustituir en la ecuación, vamos:
(-p)(-q) = 1(pq)
De nuevo, dado que sabemos que cualquier número multiplicado por la unidad da como resultado ese mismo número, solo debemos sustituir:
(-p)(-q) = pq
¿Cómo se lee esto?, así: «El producto de dos números negativos cualesquiera que estos sean y que pertenezcan a los reales, da como resultado el producto positivo de estos números».
Dicho en román paladino: Menos por menos es más.
Vaya… demasiado obvio como para que en la escuela te lo enseñen, ¿cierto?, yo discrepo, de hecho la mayoría de los profesores no tienen la formación ni el interés en explicar los fundamentos sobre los que se sostiene todo el castillo que son las matemáticas hoy en día, es esta flaqueza lo que deja a los alumnos con poca capacidad para cuestionar, lo que a la larga genera personas que en algún momento se detienen y se dejan de maravillar por cosas tan sencillas como la lógica detrás de los leyes de los signos.
No sean de los que consideran que todo es obvio, en la ciencia no hay nada obvio, ¿crees que lo es?, ¡demuéstralo!
Sin más de momento me despido, tengo que escribir unos artículos de Javascript para mi otro blog, ScriptKiddie404.
¡Saludos mis amores!
#CienciaVulgar 